In de analytische elementen methode (AEM) wordt gebruik gemaakt van analytische elementen (formules/oplossingen) voor verschillende geohydrologische eigenschappen en actoren die de grondwaterstroming beïnvloeden. Deze analytische elementen worden bijelkaar opgeteld (gesuperponeerd) en leveren een continu veld op van stijghoogtes en stromingen in de verschillende watervoerend pakketten.

Van elk analytische element is op voorhand bekend hoe de invloed er van zich uitstrekt tot oneindig ver (de invloedsfunctie), maar de sterkte (zie onder) waarmee dit gebeurt moet in de meeste gevallen door berekening bepaald worden. Bijvoorbeeld: van een lijn element (stuk van een beek) met een gegeven peil is op voorhand niet bekend hoeveel water er in of uit gaat (dat noemen we de sterkte van het element). Wel is bekend hoe de grondwaterstroming en stijghoogte op een bepaald punt in de omgeving van het element wordt beïnvloed bij een gegeven sterkte. In het omgekeerde geval, dat de stijghoogte ip het punt is gegeven kunnen we de benodigde sterkte van het element ook uitrekenen. Een dergelijke werkwijze geldt ook voor andere elementen: de oplossing van een model van analytische elementen is een matrix met de sterkteverdelingen van het element. Met deze be(re)kende sterktes en de invloeds- functies van alle elementen kan op elke plaats de stijghoogte ens troming worden berekend.

Bij de modellering van NAGROM-2 is van een beperkt aantal typen analytische elementen gebruik gemaakt. Hieronder wordt de werking van elk van deze typen beschreven.

Punt-bonnen (type: well) worden voor onttrekkingen gebruikt Dit type is het meest eenvoudige element bestaande uit de basale Theis-functie. Deze functie geldt voor een stationaire situatie in een afgesloten watervoerend pakket. De puntbron genereert op elke plaats in het watervoerend pakket een stijghoogte en stroming, die exact is gerelateerd aan wat de put doet.

Puntbronnen met lek via scheidende lagen (type: warel) worden gebruikt voor onttrekkingen in meer-lagen systemen. In het element wordt de complete analytische oplossing voor een put in een meerlagen systeem gebruikt, waarbij de geohydrologische parameters worden toegepast die ter plaatse van de put gelden. Bij uitzondering wordt het element ook toegepast voor lek op wat grotere afstand van de put (bijvoorbeeld vanuit een rivier), waarbij in dat geval de geohydrologische parameters ter plaatse van de te modelleren lek worden gebruikt. De lekverdeling rond de put in een meerlagen systeem wordt gesuperponeerd op de lekverdeling die door de oppervlakte elementen (type arel) wordt gegenereerd. Daarmee wordt de stijghoogte en stroming in elk punt van elk watervoerend pakket beïnvloed volgens een exacte relatie met de lekverdeling.

Oppervlakte elementen (type arel) worden gebruikt om over een vierhoekig gebied verticale stroming van of naar het watervoerend pakket te genereren. Binnen de vierhoek is de stroming constant (in plaats), maar deze genereert een variabele stijghoogte- en stromings-verdeling zowel binnen als buiten het element. Elementen met een gegeven stroming (sub-type: given) simuleren infiltratie gebieden, waarbinnen de stroming gelijk is aan bijvoorbeeld de netto grondwateraanvulling. Elementen met een peil en weerstand (sub-type: resistance) worden gebruikt om rivieren, meren en polders te simuleren. In polders wordt gebruik gemaakt van de voedingsweerstand met bijbehorende voedingspeil om de effecten van het oppervlakte water systeem over het element te spreiden. In hellende gebieden en in gebieden met een meervoudig ontwateringssysteem wordt de voedingsweersand afhankelijk van de freatische grondwaterstand: hoe hoger de grondwaterstand hoe meer ontwateringsmiddellen werken. In deze gebieden wordt het type arel met meerdere weerstanden en peilen gebruikt (sub-type: mres = multi-resistance). Deze randvoorwaarde parameters zijn afhankelijk van de freatische grondwaterstand, die via en een eenvoudige relatie aan de stijghoogte in het eerste watervoerend pakket is gekoppeld. Tussen watervoerende pakketten worden elementen met alleen een gegeven weerstand (sub-type: leakage) gebruikt. In alle sub-typen behalve het infiltratie element wordt de stroming berekent in het zwaartepunt van de vierhoek (door te voldoen aan de randvoorwaarde stroming=weerstand*potentiaal-verschil). Buiten de contraole punten wordt over het algemeen niet voldaan aan deze vergelijking, hetgeen goed modelleurschap vraagt om de indeling van arel elementen te ontwerpen.

Lijn elementen bestaan in veel verschillende typen, waarvan er drie in NAGROM-2 in gebruik zijn. (1) De lijn-bron (type: linesink) is te zien als een een-dimensionaal oppervlakte element en kent dezelfde sub-types behalve sub-type leakage. In NAGROM-2 worden deze elementen vooral gebruikt om grote rivieren in het buitenland (Ems, Maas, Schelde) te simuleren. (2) De lijn-dipool is vooral gebruikt als kromlijnig element (type: curel) voor het genereren van horizontale weerstand (sub-type resistance) in het watervoerend pakket. Hiermee zijn gemodelleerd afsluitingen van watervoerende lagen (bijvoorbeeld door een keileemtrog of elkaar rakende scheidende lagen) en anisotropie in bijvoorbeeld het Veluwe massief. (3) De lijn-doublets (type; doublet) bedekken de rand van een polygoon waarbinnen een van de eigenschappen van het watervoerend pakket (doorlatendheid, dikte, basis) anders is dan erbuiten (ofwel de inhomogeniteit).

Een bijzonder aspect van lijn-elementen is dat de werking ervan kan worden beïnvloed. Door het aanpassen van de parameters "overspecificatie" en "orde" kan het element naar believen krachtiger of minder rekenintensief worden gemaakt. Simpel gezegd komt "overspecificatie" neer op het rekeninghouden met de omgeving op meerder punten langs de lijn en geeft de "orde" aan hoeveel termen er worden gebruikt in de polynoom die de variatie van de functie (stroming voor type(1), weerstand voor type(2), parametersprong voor type(3) ) van het element beschrijft.

De meest-gebruikte beschikbare analytische elementen niet in NAGROM-2

Bij het aanpassen van een bestaand NAGROM model kan gebruik worden gemaakt van een groter aantal typen elementen dan nu in NAGROM-2 wordt gevonden. Hieronder worden de meest-gebruikte element typen kort beschreven.

De niet-stationaire put (type: twell = transient well) simuleert de standaard niet-stationaire onttrekking in een enkel watervoerend pakket. De putten kunnen naar believen worden gecombineerd in plaats en tijd. Er vindt echter geen terugkoppeling plaats met de andere elementen, dus een beek gaat niet (extra) voeden op het moment dat het effect van een ontrekking bij dat element aan is gekomen.

Het oppervlakte element met variabele-sterkte (varel = variable strength arel) is een geavanceerd element met de vorm van een willekeurige polygoon waarbinnen de stroming kan variëren onder invloed van variatie in oppervlakte peil, weerstand en stijghoogte in het watervoerend pakket. Het element kent dezelfde sub-typen als de arel. Aan de randvoorwaarde (zie bij arel) wordt voldaan in zogeheten controle punten. Tussen deze punten wordt een analytische interpolator gebruikt voor de verticale stroming. De berekende horizontale stroming en stijghoogte in het watervoerend pakket voldoen eaxact aan de verdeling van de verticale stroming, waardoor de waterbalans in elk gebied gesloten is. Daarentegen kan de verticale stroming op punten tussen de controle punten wel afwijken van de voorwaarde stroming=weerstand*potentiaalverschil, zoals dat ook bij arel elementen het geval is. Deze elementen zijn aanzienlijk flexibeler dan arel elementen en kunnen tot fraaie modellen leiden mits met zorg en kennis van zaken toegepast.

De AEM methode gaat bij het modelleren van grondwaterstroming uit van een complexe potentiaal welke is gedefinieerd als W(z)=F+iY, waarbij F (reele deel) de potentiaalfunctie en Y (imaginaire deel) de stroomfunctie voorstelt. De eigenschap van een complexe analytische functie is dat potentiaallijnen (F=constant) en stroomlijnen (Y = constant) elkaar loodrecht snijden (Cauchy-Riemann).

De potentiaaldefinitie

De potentiaal F voor gespannen grondwater is gedefinieerd als F = kDf-0,5kD^2, (het produkt van transmissiviteit en stijghoogte plus een constante) en voor een freatische grondwaterspiegel F = 0,5kf^2 (0,5 maal de doorlaatfactor maal de stijghoogte in het kwadraat)  De definitie is zodanig gekozen zodat bij de overgang van een gespannen potentiaal naar een freatische potentiaal de continuiteit gewaarborgd is.

Rechts van punt P geldt voor de potentiaaldefinitie: F = 0,5kf^2

Het principe van de AEM methode berust op een superpositie van analytische oplossingen. Van elk element,  waarvan de sterkte bekend is (put met een bepaald debiet) of onbekend is (waterloop met een peil), is een analytische oplossing beschikbaar. Voor de elementen met een onbekende sterkte worden controle punten gedefinieerd ().

Voor elke controlepunt kan een vergelijking worden opgesteld waar b.v. de stijghoogte wordt berekend. Zodoende voor alle controlepunten, inclusief een randvoorwaarde (een punt waar de stijghoogte vast wordt gekozen), onstaat een stelsel vergelijkingen welke kan worden opgelost.

In het voorbeeld is een situatie weergegeven van een waterloop (z1,z2) met peil=8 m, een put (zp1) met stijghoogte=12 m, een put (zp2) met debiet =1200 m3/dag en een randvoorwaarde (z0) met stijghoogte = 10 m. Door voor dit concept het stelsel vergelijkingen op te stellen en op te lossen worden de sterktes van de put en de waterloop en de randvoorwaarde (=constante) bekend. Na oplossing van het stelsel vergelijkingen kan het linker   isohypsenbeeld worden berekend. In het midden van de linesink bedraagt de stijghoogte 8 m. Evenzo worden ter plaatse van de put en de integratieconstante de opgegeven waarden berekend.

Andere randvoorwaarden

Zoals aangegeven geldt voor stijghoogte gespecificeerde elementen de de berekening van de stijghoogte in het controlepunt. In het voorgaande is uitgegaan van een constante sterkte van het element. Ook hogere orde (lineaire, kwadratische...) verdeelde sterktes zijn mogelijk. In dit laatst geval zal het aantal controlepunten gelijk zijn aan de orde.

In het voorbeeld is uitgegaan van stijghoogte gespecificeerde elementen waarvoor als voorwaarde is gesteld dat in het controlepunt de opgelegde stijghoogte moet worden berekend. Voor andere elementen zoals bijvoorbeeld inhomogeniteiten geldt een andere voorwaarde in het controlepunt. Voor een inhomogeniteiten geldt de sprong in transmissviteit (uitgedrukt in een potentiaal) als de waarde waar in het controlepunt aan moet worden voldaan. Voor peil/weerstand gedefinieerde AREL elementen wordt als voorwaarde gesteld dat in het controlepunt de stijghoogtesprong gelijk is aan de flux van het element maal de weerstand. Eenzelfde voorwaarde geldt voor AREL elementen waar

	De stijghoogte in een punt z, a.g.v. een put in zp wordt beschreven met de formule:f = Qp F(zp,z)
	De stijghoogte in een punt z, a.g.v. een linesink van z1 naar z2 wordt beschreven met de formule: f = qls G(z1,z2,z)

Het stelsel vergelijkingen kan worden opgesteld door achtereenvolgens ter plaatse van de punten zp1, (z1+z2)/2 en z0 de bekende stijghoogte te berekenen, volgens:

Er ontstaan 3 vergelijkingen met 3 onbekenden, te weten: Qp1,qls en C.

Een bijzonder aspect van lijn-elementen is dat de werking ervan kan worden beïnvloed. Door het aanpassen van de parameters "overspecificatie" en "orde" kan het element naar believen krachtiger of minder rekenintensief worden gemaakt. Simpel gezegd komt "overspecificatie" neer op het rekeninghouden met de omgeving op meerder punten langs de lijn en geeft de "orde" aan hoeveel termen er worden gebruikt in de polynoom die de variatie van de functie (stroming voor type(1), weerstand voor type(2), parametersprong voor type(3) ) van het element beschrijft.

 In het algemeen geldt dat voor een element het aantal controlepunten gelijk is aan het aantal vrijheidsgraden (rode en blauw curve/markers). Door het aantal controlepunten nu groter te kiezen dan het aantal vrijheidsgraden wordt te veel informatie vastgelegd, meer vergelijkingen dan onbekenden. Zo'n stelsel kan worden opgelost door een kleinste kwadraten techniek. Als voorwaarde geldt nu niet dat in het controlepunt de opgelegde waarde gehaald moet worden, maar voor het element als geheel geldt dat de som van het kwadraat van de afwijkingen (opgelegde waarde - berekende waarde) minimaal is. Het resultaat is dat in geen enkel controlepunt wordt voldaan aan de opgelegde voorwaarde maar wel dat de berekende waarden als een gemiddelde tussen de opgelegde waarden inliggen (groene curve/markers). Er wordt een beter resultaat verkregen.